2. 봉

2021. 05. 13.

봉(rod): 축방향 하중(axial force) 지지
보(beam): 굽힘 모멘트(bending moment) 지지
축(shaft): 비틀림 모멘트(twisting moment, torque) 지지

1. 법선하중(normal load)

1.1. 법선응력(normal stress)

법선하중 \(P\), 초기 단면적 \(A\)에 대한 법선응력 \(\sigma\)의 식.

\[\begin{equation} \sigma = \frac{P}{A} \end{equation}\]

법선응력은 방향에 따라 인장응력(tensile stress) \(\sigma_t\)와 압축응력(compressive stress) \(\sigma_c\)이 있다.

\[\begin{equation} \sigma_t = \frac{P_t}{A}, \quad \sigma_c = \frac{P_c}{A} \end{equation}\]

1.1.1. 지탱응력(bearing stress)

지탱응력은 불규칙한 접촉면에 작용하는 평균응력이다. 하중 방향으로 투영된 면적 (또는 베어링 면적) \(A_b\)에 대한 지탱응력 \(\sigma_b\).

\[\begin{equation} \sigma_b = \frac{P}{A_b} \end{equation}\]

1.2. 법선변형률(normal strain)

변형량 \(\delta\), 초기 길이 \(L\)에 대한 법선변형률 \(\varepsilon\)의 식.

\[\begin{equation} \varepsilon = \frac{\delta}{L} \end{equation}\]

변형량은 초기 길이 \(L_0\), 나중 길이 \(L_1\)에 대한 식 \(\delta=L_1-L_0\) 로 계산한다.

2. 전단하중(shearing load)

2.1. 전단응력(shear stress)

전단하중 \(V\), 전단면적 \(A\)에 대한 전단응력 \(\tau\)의 식.

\[\begin{equation} \tau = \frac{V}{A} \end{equation}\]

2.2. 전단변형률(shear strain)

전단변형량 \(\delta\), 수직거리 \(L\)에 대한 전단변형률 \(\gamma\)의 식.

\[\begin{equation} \gamma = \frac{\delta}{L} \end{equation}\]

3. 재료의 기계적 성질

3.1. 응력-변형률 선도(stress-strain diagram)

비례한도 (proportional limit)
탄성한도 (elastic limit)
항복점 (yield point)
항복응력 \(\sigma_y\)
극한응력, 극한인장강도(ultimate tensile strength, UTS) \(\sigma_u\)
파단 (rupture)

백분율 신장량(percent elongation) \(\frac{L_1-L_0}{L_0}\)
단면감소율 \(\frac{A_0-A_1}{A_0}\)

단면변화율 \(\varDelta A/A = -2\nu\varepsilon\)
체적변화율 \(\varDelta V/V = \varepsilon_V = \varepsilon\left(1-2\nu \right)\)
체적탄성계수(bulk modulus) \(K\)
압축률 \(\beta = 1/K\)

3.2. 진응력(true stress), 진변형률(true strain)

공칭응력 (nominal stress) \(\sigma_n\), 공칭변형률 (nominal strain) \(\varepsilon_n\)에 대응하는 진응력 \(\sigma_t\), 진변형률 \(\varepsilon_t\)

\[\begin{equation} \sigma_t = \sigma_n\left(1 + \varepsilon_n\right) \end{equation}\]

\[\begin{equation} \varepsilon_t = \ln{\left(1 + \varepsilon_n\right)} \end{equation}\]

3.3. 후크 법칙(Hook's law)

탄성계수(modulus of elasticity) \(E\)에 대해

\[\begin{equation} \sigma = E\varepsilon \end{equation}\]

전단탄성계수 또는 강성계수(modulus of rigidity) \(G\)에 대해

\[\begin{equation} \tau = G\gamma \end{equation}\]

3.4. 푸아송 비(Poisson's ratio)

\[\begin{equation} \nu = - \frac{\varepsilon'}{\varepsilon} \lesssim \frac{1}{2} \end{equation}\]

푸아송 수

\[\begin{equation} \nu = \frac{1}{m} \end{equation}\]

3.5. 관계식

\[\begin{equation} \begin{aligned} E & = 2G\left( 1 + \nu \right) \\ & = 3K\left( 1 - 2\nu \right) \end{aligned} \end{equation}\]

\[\begin{equation} K = \frac{GE}{9G-3E} \end{equation}\]

3.5. 열변형률

열팽창계수 \(\alpha\), 온도변화 \(\varDelta T\)에 대한 열변형률 \(\varepsilon_T\)의 식.

\[\begin{equation} \varepsilon_T = \alpha\varDelta T \end{equation}\]

4. 설계

안전계수\(S\)와 허용응력\(\sigma_a\)관계.

연성 재료

\[\begin{equation} \sigma_a= \frac{\sigma_y}{S} \end{equation}\]

취성 재료

\[\begin{equation} \sigma_a= \frac{\sigma_u}{S} \end{equation}\]